Типовой расчёт 5: «Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной»
Методичка с заданиями к типовому расчёту 5: «Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной»
Рязанский государственный радиотехнический университет им. В.Ф. Уткина (РГРТУ им. В.Ф. Уткина)
Высшая математика
Дифференциальное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Формирование дифференциального исчисления связано с именами Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница. Именно они чётко сформировали основные положения и указали на взаимообратный характер дифференцирования и интегрирования. Создание дифференциального исчисления (вместе с интегральным) открыло новую эпоху в развитии математики. С этим связаны такие дисциплины как теория рядов, теория дифференциальных уравнений и многие другие. Методы математического анализа нашли применение во всех разделах математики. Очень распространилась область применения математики в естественных науках и технике.
Дифференциальное исчисление базируется на таких важнейших понятиях математики, определение и исследование которых и составляют предмет введения в математического анализа: действительные числа (числовая прямая), функция, граница, непрерывность. Все эти понятия получили современную трактовку в ходе развития и обоснования дифференциального и интегрального исчислений.
Основная идея дифференциального исчисления состоит в изучении функции в малом. Точнее дифференциальное исчисление дает аппарат для исследования функций, поведение которых в достаточно малой окрестности каждой точки близка к поведению линейной функции или многочлена. Таким аппаратом служат центральные понятия дифференциального исчисления: производная и дифференциал.
Типовые задания:
Задание 1: Найти сумму ряда.
Задание 2-5: Исследовать на сходимость ряд.
Задание 6: Исследовать ряд на сходимость с помощью интегрального признака.
Задание 7: Исследовать ряды на сходимость. Указать тип сходимости (абсолютная или условная).
Задание 8: Найти сумму ряда с точностью ε = 01,0 .
Задание 9: Найти радиус сходимости степенного ряда.
Задание 10: Найти область сходимости степенного ряда. Провести исследование на границах области сходимости.
Задание 11: Найти область сходимости функционального ряда, используя признак Даламбера или признак Коши.
Задание 12: Найти сумму ряда по теореме о дифференцировании.
Задание 13: Найти сумму ряда по теореме об интегрировании.
Задание 14: Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора по степеням x (в ряд Маклорена).
Задание 15: Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора по степеням (x-x0) (в окрестности точки x0).
Задание 16: Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд (по степеням x ), вычислить определённый интеграл с точностью ε .
Задание 17: Записать три первых, отличных от нуля, члена разложения в ряд Тейлора решения y(x) дифференциального уравнения.
Задание 18:
1) Функцию f(x) , заданную в интервале (a, b) , разложить в ряд Фурье:
а) общего вида,
б) по косинусам,
в) по синусам.
2)* В одной системе координат начертить графики функции f(x) и частичных сумм S5(x) рядов а), б), в).